Halaman
110Fisika XI untuk SMA/MAMomen gayaMomeninersiaMomentumsudutEnergi danusahaTitik beratKesetimbangannetralBab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda TegarKesetimbanganTranslasiRotasiKesetimbanganlabilKesetimbanganstabilBendaPETPETPETPETPETA KA KA KA KA KONSEPONSEPONSEPONSEPONSEP
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1116DINAMIKA ROTASIDAN KESETIMBANGANBENDA TEGARKorsel gantung yang bergerakmelakukan gerakan melingkar.Gerak suatu benda berdasarkan lintasannya dibedakan menjadi tiga,yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar. Pada gerakmelingkar atau gerak rotasi, benda bergerak berputar pada porosnya.Perhatikan gambar di atas. Korsel gantung dikatakan melakukan gerak rotasikarena lintasannya berbentuk lingkaran dan ada sumbu sebagai pusatnya.Bagaimana dengan dinamika gerak rotasi tersebut?Sumber: Jendela Iptek Ruang danWaktu, PT Balai Pustaka, 2000
112Fisika XI untuk SMA/MAGerak rotasi benda dapat diamati dalam berbagaiperistiwa di lingkungan kalian. Bola yang menggelinding,gerak engsel pada pintu, gerakan katrol, sekrup, dan rodamerupakan contoh gerak rotasi benda. Sebagian besargerak rotasi yang dialami benda tidak terjadi dengansendirinya, tetapi ada sesuatu yang menyebabkan bendatersebut berotasi. Pada bab ini kalian akan mempelajaribagaimana sebuah benda dapat berotasi dan apa yangmenyebabkannya. Beberapa besaran yang berkaitandengan dinamika rotasi adalah momen gaya, momeninersia, dan momentum sudut.Penyebab gerak suatu benda adalah gaya. Pada gerakrotasi, sesuatu yang menyebabkan benda untuk berotasiatau berputar disebut momen gaya atau torsi. Konsep torsidapat dilihat pada saat kita membuka pintu. Cobalahmembuka pintu dari bagian yang dekat dengan engsel.Bagaimanakah gaya yang kalian keluarkan? Sekarang,cobalah kembali membuka pintu dari bagian paling jauhdari engsel. Bandingkan gaya yang diperlukan antara duaperlakuan tersebut. Tentu saja membuka pintu dengancara mendorong bagian yang jauh dari engsel lebih mudahdibandingkan dengan mendorong bagian yang dekat dariengsel. Gambar 6.1 menunjukkan sebuah pintu yangtampak dari atas. Gaya dorong Fdiberikan pada pintudengan membentuk sudut D terhadap arah mendatar.Semakin besar gaya yang diberikan, semakin cepat pintuterbuka. Semakin besar jarak engsel dari tempat gayabekerja, maka semakin besar momen gaya sehingga pintulebih mudah terbuka.Momen gayadidefinisikan sebagai hasil kali antara gayadengan jarak titik ke garis kerja gaya pada arah tegak lurus.Dari Gambar 6.1, maka besarnya momen gaya adalah:W = F. d = F. r sinD........................................... (6.1)dengan:W= momen gaya (Nm)F= gaya yang bekerja (N)r= jarak atau lengan (m)Momen gaya merupakan besaran vektor, sehinggapersamaan (6.1) dapat dinyatakan dalam bentuk:W= ruF.......................................................... (6.2)A.Momen Gaya (Torsi)Gambar 6.1 Momen gayamenyebabkan gerak rotasibenda.kecepatan sudut, momengaya, momen inersia,momentum sudut,percepatan sudut,resultan gaya, rotasi, titikberatdFrD
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1131. Besar momen gaya suatu benda adalah 24 Nm dan gaya yang digunakanadalah 4 N. Jika gaya tersebut tegak lurus terhadap lengan, berapakah besarlengan momen gaya tersebut?2.Persegi panjang di samping berukuran AD =9 cm dan AB = 12 cm. Gaya yang bekerjapada F1, F2, F3, F4, dan F5 masing-masingsebesar 8 N, 12 N, 14 N, 16 N, dan 18 N.Hitunglah momen gaya total terhadap titik O!Uji Kemampuan 6.1○○○○○○○○○○○○○○Momen gaya total pada suatubenda yang disebabkan oleh dua buahgaya atau lebih yang bekerja terhadapsuatu proses dirumuskan:¦W= n321...WWWWArah momen gaya (W) tegak lurusterhadap rdan F. Jika rdan F terletakpada bidang yang tegak lurus sumbuputar, maka vektor W arahnya sepanjangsumbu putar menurut kaidah tanganGambar 6.2Arah momen gaya memenuhi kaidahtangan kanan.Fkanan seperti ditunjukkan pada Gambar 6.2. Genggamanjari bertindak sebagai arah rotasi, dan ibu jari sebagaimomen gaya.Contoh SoalDua roda silinder dengan jari-jari r1 = 30 cm dan r2 = 50 cm disatukan dengansumbu yang melewati pusat keduanya, seperti pada gambar. Hitunglah momengaya total pada roda gabungan!Penyelesaian:Diketahui:r1= 30 cm = 0,3 mr2= 50 cm = 0,5 mF1= -50 N (berlawanan arah jarum jam)F2= +50 N (searah jarum jam)Ditanya:¦W= ... ?Jawab:Komponen gaya F2 yang tegak lurus r2adalah:F2sin 60osehingga:¦W=12WW = r2.F2sin 60o – r1F1 = 0,5 u 50 u (321) – (0,3 u 50) = 6,65 Nm260o30or2r1F1 = 50 NF2 = 50 NDCABOF1F4F3F2F5W
114Fisika XI untuk SMA/MA.oNrabmaGadneBamaNubmuSkateLratuPaisrenInemoM.1negomohgnatabgnajnaptasupiulalem.2negomohgnatabgnajnapgnujuiulalemB.Momen InersiaMomen inersia menyatakan bagaimana massa bendayang berotasi didistribusikan di sekitar sumbu rotasinya.Apabila sistem yang berotasi adalah sebuah partikel yangbermassa mdan berada pada jarak rdari sumbu rotasi,maka momen inersia partikel tersebut merupakan hasilkali massa partikel dengan kuadrat jaraknya dari sumburotasi (Gambar 6.3). Secara matematis dirumuskan:I = m.r 2............................................................. (6.3)dengan:I= momen inersia (kgm2)m= massa benda (kg) r= jarak partikel dari sumbu putar (m)Jika terdapat sejumlah partikel yang melakukan gerakrotasi, maka momen inersia total merupakan jumlahmomen inersia setiap partikel.I=¦m.r 2 = m1.r12 + m2.r22 + ... + mn.rn2.......... (6.4)Apabila benda yang berotasi terdiri atas susunanpartikel kontinu, seperti benda tegar, maka momen inersiadihitung dengan metode integral sebagai berikut:I=³r 2.dmBesarnya momen inersia tergantung pada bentukbenda, jarak sumbu putar ke pusat massa, dan posisi bendarelatif terhadap sumbu putar. Tabel 6.1 menunjukkanmomen inersia beberapa benda tegar.Gambar 6.3 Momen inersiasebuah partikel terhadapsumbu rotasi.rmTabel 6.1 Momen inersia berbagai benda tegar homogen○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○lRR2.31lmI2.121lmIl
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar115.3sipitrednilisnagnedaggnorebiraj-irajRiulalemaynubmus.4labetrednilisnagnedaggnorebmaladiraj-irajR1rauliraj-irajnadR2iulalemaynubmus.5lajeprednilisiraj-irajnagnedRiulalemaynubmus.6lajeprednilisiraj-irajnagnedRtasupiulalem.7nagnedlajepalobiraj-irajRtasupiulalem.8lajepalobgnujuiulalem.9aggnorebalobiraj-irajnagnedRtasupiulalem.01sipitgnepmelgnajnapnagnedarabelnadbtasupiulalem.11sipitgnepmelgnajnapnagnedaiulalemaynubmusRR1R2RRRaRb2.RMI)(212221RRMI 2.21RMI2.57RMI22.121.41lMRMI 2.52RMI2.32RMI2.121aMIa)(12122baMI
116Fisika XI untuk SMA/MAContoh SoalEmpat buah partikel A, B, C, dan D masing-masing bermassa 200 gram, 350 gram,400 gram, dan 150 gram disusun seperti gambar berikut ini.Tentukan momen inersia sistem di atas terhadap pusat rotasi melalui ujung batang!Penyelesaian:Diketahui:mA= 200 gram = 0,2 kgOA = 20 cm = 0,2 mmB= 350 gram = 0,35 kgOB= 30 cm = 0,3 mmC= 400 gram = 0,4 kgOC = 45 cm = 0,45 mmD= 150 gram = 0,15 kgOD= 60 cm = 0,6 mDitanya:I= ... ?Jawab:I=(mA.OA2) + (mB.OB2) + (mC.OC2) + (mD.OD2)=(0,2(0,2)2) + (0,35(0,3)2) + (0,4(0,45)2) + (0,15(0,6)2)=(8u10-3)+ (31,5u10-3)+ (81u10-3)+ (54u10-3)=174,5u10-3 kgm2 = 0,17 kgm21.Empat buah partikel A, B, C, dan Ddengan massasama yaitu 300 gram dengan jari-jari 40 cmdihubungkan melingkar seperti tampak padagambar di samping. Berapakah momen inersiasistem terhadap:a.pusat lingkaran (O),b.diameter BD!2.Dua beban dengan massa 2 kg dan 3 kg diletakkan dengan jarak 80 cm satusama lain pada sebuah batang yang ringan. Hitunglah momen inersia sistem,jika batang diputar horizontal dengan sumbu putar:a.b.a.di tengah kedua benda (lihat gambar),b. terletak 10 cm di sebelah kiri massa 2 kg!Uji Kemampuan 6.2○○○○○○○○○○○○○○ABDC80 cmm1 = 2 kgm2 = 3 kgODA20 cm10 cm15 cm 15 cmBC10 cmm1 = 2 kgm2 = 3 kgO
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar117C.Hubungan antara Momen Gaya denganPercepatan SudutGambar 6.4 menunjukkan sebuah partikel denganmassa m berotasi membentuk lingkaran dengan jari-jari rakibat pengaruh gaya tangensial F.Berdasarkan Hukum II Newton, maka:F = m.at............................................................ (6.5)Jika kedua sisi dikalikan r, maka:r.F = r (m.at)Karena momen gaya W = r.Fdan percepatan tangensialat = r.D, maka:r.F=r.m.r.Dr.F=m.r 2.DW=m.r 2.DMengingat I = m.r 2, maka:W = I.D............................................................. (6.6)dengan:W= momen gaya (Nm)I= momen inersia (kgm2)D= percepatan sudut (rad/s2)Persamaan (6.6) merupakan rumusan Hukum II Newtonpada gerak rotasi.Gambar 6.4Sebuah partikelberotasi akibat pengaruh gayatangensial.rF1mContoh SoalSebuah roda berbentuk cakram homogen dengan jari-jari 50 cm dan massa 200 kg.Jika momen gaya yang bekerja pada roda 250 Nm, hitunglah percepatan sudutroda tersebut!Penyelesaian:Diketahui:r= 50 cm = 0,5 mm=200 kgW=250 NmDitanya:D= ... ?Jawab:I=21m.r 2= 21(200)(0,5)2W=I.D250 =25DD= 10 rad/s2
118Fisika XI untuk SMA/MA1.Gaya sebesar 18 N bekerja pada tali yang dililitkanpada katrol yang berjari-jari 36 cm. Katrol berputardengan kecepatan sudut 25 rad/s selama 5 sekon. Jikaantara tali dan katrol ada momen inersia sebesar 2 kgm2,hitunglah momen gaya katrol!2.Beban dengan massa 18 kg (g = 10 m/s2) digantungkanpada katrol yang berjari-jari 24 cm. Jika momen gayasebesar 4 Nm dan momen inersia sebesar 2 kgm2,tentukan:a.percepatan sudut,b. kecepatan sudut pada t = 5 s!Uji Kemampuan 6.3○○○○○○○○○○○○○○F12345123451234512345Setiap benda bergerak memiliki energi kinetik. Padasaat berotasi, benda memiliki energi gerak yang disebutenergi kinetik rotasi, yang besarnya:Ek=21m.v 2Kecepatan linier, v = r.Z, maka:Ek=21m(r.Z)2 = 21m.r 2.Z2Karena m.r 2 = I, maka energi kinetik rotasi adalah:Ek = 21I.Z2..................................................... (6.7)Untuk benda yang bergerak menggelinding di atasbidang seperti pada Gambar 6.5, benda mengalami duagerakan sekaligus yaitu gerak rotasi terhadap sumbu boladan gerak translasi terhadap bidang.Besarnya energi kinetik yang dimiliki bendamerupakan jumlah energi kinetik rotasi dengan energikinetik translasi, sehingga dirumuskan:Ek=EkR + EkTEk=21I.Z2 + 21m.v 2............................................ (6.8)D.Energi dan Usaha Gerak RotasiGambar 6.5Besarnya energikinetik benda menggelindingmerupakan jumlah energi kinetikrotasi dan energi kinetiktranslasi.Z
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar119Perhatikan Gambar 6.6. Usaha yang dilakukan padabenda yang berotasi dapat ditentukan berikut ini.Sebuah roda berotasi pada sumbu tetap dalam selangwaktu 't, sebuah titik pada roda tersebut menempuhsudut Tdan lintasan sejauh s. Usaha yang dilakukan gayaF adalah:W=F. sKarena s = r.Tdan W= r.F, maka:W=F.r.TW = W .T......................................................... (6.9)dengan:W= usaha ( J)W= momen gaya (Nm2)T=sudut yang ditempuhUsaha yang dilakukan oleh momen gaya sama denganperubahan energi kinetik rotasi:W = 'Ekrot = 21I.Z22 – I.Z12........................... (6.10)Contoh SoalsFrTGambar 6.6Roda berotasipada sumbu tetap.Sebuah bola pejal dengan massa 10 kg dan jari-jari 20 cm berada pada bidangdatar licin. Bola menggelinding dengan kelajuan linier 5 m/s dan kecepatan sudut6 rad/s. Tentukan energi kinetik total!Penyelesaian:Diketahui:m= 10 kg; r=20 cm; v = 5 m/s; Z = 6 rad/sDitanya:Ek= ... ?Jawab:I=52m . r 2 = 52(10)(0,2)2 = 0,16 kgm2Ek= EkT + EkR=21I.Z2 +21m.v 2= 21(10)(5)2 + 21(0,16)(6)2 = (125 + 2,88) J = 127,88 J1. Sebuah silinder pejal yang bermassa 3 kg dan berjari-jari 50 cm berotasidengan kecepatan sudut 180 rad/s. Jika kecepatan linier silinder 5 m/s,tentukan energi kinetik total!2. Sebuah bola berongga dengan jari-jari 80 cm berotasi dengan kecepatansudut 70 rad/s. Jika energi kinetik rotasi bola adalah 5 joule dan kecepatanlinier sebesar 7 m/s, tentukan:a.massa bola,b. energi kinetik total!Uji Kemampuan 6.4○○○○○○○○○○○○○○
120Fisika XI untuk SMA/MAE.Momentum SudutPada bab sebelumnya kalian telah mempelajarimengenai momentum yang merupakan hasil kali antaramassa dengan kecepatan. Dalam gerak rotasi, besaran yanganalog dengan momentum linier adalah momentum sudut.Untuk benda yang berotasi di sekitar sumbu yang tetap,besarnya momentum sudut dinyatakan:L = I.Z......................................................... (6.11)dengan:L= momentum sudut (kgm2/s)I= momen inersia (kgm2)Z= kecepatan sudut (rad/s)Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arahmomentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapatditentukan dengan kaidah putaran sekrup atau denganaturan tangan kanan (Gambar 6.7). Jika keempat jarimenyatakan arah gerak rotasi, maka ibu jari menyatakanarah momentum sudut.Jika benda bermassa m bergerak rotasi pada jarak rdari sumbu rotasi dengan kecepatan linier v, makapersamaan (6.11) dapat dinyatakan sebagai berikut:L=I . ZKarena I = m.r 2dan Z = rv, maka:L= m.r 2.rvL= m.r.v ................................................................ (6.12)Hubungan momentum sudut dengan momen gayaPada bab sebelumnya kalian telah mempelajari bahwaimpuls merupakan perubahan momentum dari benda.F.dt = dpF=dtdp = dtvmd).(Karena v = r.Z, maka:F=dtrmd)..(ZJadi, kedua ruas dikalikan dengan r, diperoleh:r.F= dtrmd)..(2ZGambar 6.7Arah momentumsudut.LLL
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar121Mengingat r.F =Wdan m.r 2 = I, maka:W= dtId).(Zdengan I.Z adalah momentum sudut, sehingga:W=dtdL.............................................................. (6.13)Berdasarkan persamaan (6.13) dapat dinyatakanbahwa momen gaya merupakan turunan dari fungsimomentum sudut terhadap waktu.Hukum Kekekalan Momentum Sudut:jika tidak ada momen gaya yang bekerja (¦W = 0), makamomentum sudut benda yang berotasi adalah tetap.Secara matematis dirumuskan:¦W= 0dtdL= 0, maka:L= konstanL1= L2I1.Z1= I2.Z2.................................................. (6.14)Momen gaya (W) = r.FMomen inersia (I ) = m.r 2Momentum sudut = I.Z2Enegi kinetik total (Ek)= 2221ù21mvITabel 6.2 Analogi besaran-besaran pada gerak translasi dan rotasi○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○Gerak TranslasiGerak RotasiHubunganperpindahan liniersperpindahan sudutTT = rskecepatan liniervkecepatan sudutZZ = rvpercepatan linierapercepatan sudutDD = ramassammomen inersiaI I = m.r 2gayaFF = m.amomen gayaWW= I.DW= r.Fmomentum linierpmomen sudutLL = r.p = r.m.venergi kinetikEk = 21m.v2Ek = 21I.2ZusahaW = F.sW = W.TdayaP = F .vP = W.Z
122Fisika XI untuk SMA/MASebuah silinder tipis berongga dengan diameter 120 cm dan massa 20 kg berotasimelalui pusat sumbunya seperti gambar berikut ini.Jika kecepatan sudutnya 20 rpm, hitunglah momentum sudutnya!Penyelesaian:Diketahui:d=120 cm oR = 60 cm = 0,6 mm=20 kgZ=20 rpmDitanya:L= ... ?Jawab:Z= 20 rpm = s 60rpm20 = 31 rps= 32S rad/s = 120 rad/sI= m.R 2 = (20)(0,6)2 = 7,2 kgm2L= I.Z= (7,2)(120) = 864 kgm2/sContoh SoalRDua cakram dipasang pada suatu poros putar yang sama. Cakram A memilikimomen inersia 3 kgm2dan kecepatan sudut 360 rad/s. Cakram B memiliki momeninersia 4 kgm2dan kecepatan sudut 320 rad/s, dengan arah putaran sama dengancakram A. Hitunglah kecepatan sudutnya setelah digabung!Uji Kemampuan 6.5○○○○○○○○○○○○○○Pemain Skat BerputarSeperti halnya benda yang sedang bergerak, bendayang sedang berputar memiliki momentum. Benda yangberputar memiliki momentum sudut, momentum inibertambah besar dengan bertambahnya kecepatandan massa. Momentum sudut tersimpan, tidak berubahkecuali jika ada gaya yang bekerja terhadap bendayang bersangkutan. Salah satu efek dari konservasimomentum adalah perubahan bentuk benda yangberputar akan mengubah kecepatan putarnya. Alasaninilah pemain skat menarik kedua lengannya menempelpada tubuh untuk meningkatkan kecepatan putarnya,karena garis tengah tubuh berkurang.Percikan Fisika
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar123F.Kesetimbangan BendaF2BAF1Gambar 6.8Resultan gayasama dengan nol jika gayasama besar, berlawanan arahdan garis kerjanya sama.1. Kesetimbangan PartikelPenyebab gerak sumbu benda adalah gaya, dimanasemakin besar gaya, maka semakin besar pula percepatanyang dialami. Partikel adalah benda yang ukurannya dapatdiabaikan sehingga dapat digambarkan sebagai suatu titikmateri. Akibatnya, jika gaya bekerja pada partikel titiktangkap gaya berada tepat pada partikel-partikel tersebut.Oleh karena itu, partikel hanya mengalami gerak translasidan tidak mengalami gerak rotasi.Suatu partikel dikatakan dalam keadaan setimbang apabilaresultan gaya yang bekerja pada partikel sama dengan nol.¦F= 0 ................................................................ (6.15)Apabila partikel pada bidang xy, maka syaratkesetimbangan adalah resultan gaya pada komponensumbu xdan sumbu y sama dengan nol.xF¦=0¦yF= 0 .............................................................. (6.16)Berdasarkan Hukum I Newton, jika resultan gaya yangbekerja pada benda sama dengan nol, maka percepatanbenda menjadi nol. Artinya, bahwa partikel dalam keadaandiam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Apabilapartikel dalam keadaan diam disebut mengalamikesetimbangan statis, sedangkan jika bergerak dengankecepatan tetap disebut kesetimbangan dinamis.2. Kesetimbangan Benda TegarBenda tegar adalah benda yang apabila dipengaruhigaya-gaya tidak mengalami perubahan bentuk. Meskipunbenda berotasi namun bentuknya tetap sehingga jarakantara partikel-partikelnya tetap.a. Momen KopelKopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar,sama besar, dan arahnya berlawanan. Pengaruh kopelterhadap sebuah benda adalah memungkinkan bendaberotasi. Besarnya kopel dinyatakan dengan momen kopelyang merupakan hasil kali antara gaya dengan jarak antarakedua gaya tersebut.Gambar 6.9 Resultan gayasama dengan nol sehinggabenda diam.F1F3F2
124Fisika XI untuk SMA/MAb. Menentukan Titik Tangkap Gaya ResultanPada bidang datar xy terdapat beberapa gaya F1, F2,dan F3 saling sejajar dan bertitik tangkap di (x1,y1),(x2,y2), (x3,y3) seperti Gambar 6.11.Resultan ketiga gaya tersebut adalah R yang bertitiktangkap di (x,y). Jika komponen gaya yang searah sumbux adalah F1x, F2x, dan F3x, sedangkan komponen gaya padaarah sumbu y adalah F1y, F2y, dan F3y dengan jarak x1, x2,dan x3 terhadap sumbu y, maka berlaku:¦Wy=W1y+ W2y +W3yRyxR=F1y.x1 + F2y.x2 +F3y.x3xR=y33y22y11y...RxFxFxF=3y2y1y33y22y11y...FFFxFxFxFxR=ynny.RxF¦.................................................. (6.18)Dengan cara yang sama diperoleh:yR=¦¦xnnx.RyF= 3x2x1x33x22x11x...FFFyFyFyF................................ (6.19)Gambar 6.10Momen gayapositif dan negatif.FFdFF+FFSecara matematis dituliskan:M = F.d........................................................... (6.17)dengan:M= momen kopel (Nm)F= gaya (N)d= jarak antara gaya (m)Momen kopel merupakan besaran vektor. Momenkopel bertanda positif jika arah putarannya searah denganputaran jarum jam dan negatif jika berlawanan denganarah putaran jarum jam. Perhatikan Gambar 6.10 disamping.Gambar 6.11Sejumlah gayabekerja pada bidang xy.x1x2xx3y3yy2yxF1F2RF3y1
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar125Contoh Soal1. Jika massa benda 2 kg dan sistem dalam keadaan setimbang, tentukan besartegangan tali T1dan T2! (g = 10 m/s2)Penyelesaian:Diketahui:m=2 kgg= 10 m/s2D1=30oD2=60oDitanya:T1= ... ?T2= ... ?Jawab:T1x=T1 cosD1=T1 cos 30o = 213T1T1y=T1 sin 30o = 21T1T2x=T2 cos 60o = 21T2T2y=T2 sin 60o= 213T2w=m.g = (2 kg)(10 m/s2) = 20 NPada sumbu x¦Fx=0T2x – T1x=021T2 – 213T1= 021T2=213T1T2=3T1 ... (i)Pada sumbu y¦yF=0T1y + T2y – w=0T1y + T2y=w21T1 + 321T2=20 ... (ii)30o60oT1T2mc. Syarat Kesetimbangan BendaPada umumnya benda yang sedang bergerakmengalami gerak translasi dan rotasi. Suatu benda dikatakansetimbang apabila benda memiliki kesetimbangan translasidan kesetimbangan rotasi. Dengan demikian, syaratkesetimbangan benda adalah resultan gaya dan momen gayaterhadap suatu titik sembarang sama dengan nol. Secaramatematis dapat dituliskan:¦xF = 0, ¦yF = 0, dan ¦W = 0 ....................... (6.20)T1T1xT2yyT2xT2xT1yw = m . gD1D2
126Fisika XI untuk SMA/MADari persamaan (i), T2 = 3T1 maka:21T1 + 213.3T1=2021T1 + 23T1=202T1=20T1= 10 NKarenaT2 = 3T1, maka: T2 =103 N2. Jika AB = BD = 2 m dan DC = 1 m.Tentukan momen gaya di titik A dan C!Penyelesaian:Diketahui:F1= 40 N AB = BD = 2 mF2= 50 N CD= 1 mF3= 30 N AD= 4 mDitanya:WA= ... ?WC= ... ?Jawab:WA=WA + WB + WD=F3 . 0 + F2(AB) + F1 (AD)=(50 u2) + (40 u 4)=260 NmWC=-WA + WB + WD=-F3.AC – F2.BC + F1.CD=-(30 u 3) – (50 u 1) + (40 u 1)=-100 NmF3 = 30 NF2 = 50 NF1 = 40 NABDC1.Berdasarkan gambar di samping,tentukan besar dan titik tangkap gayaresultan dari kedua gaya yang sejajar F1dan F2!2. Batang AB dengan panjang 10 m dan massa 5 kg disandarkan pada dindingvertikal, A pada dinding dan B pada lantai. Jika A terletak 8 m di atas lantaidan dinding licin, tentukan koefisien gesek lantai dengan ujung B agar batangsetimbang! (g = 10 m/s2).Uji Kemampuan 6.6○○○○○○○○○○○○○○0123x-1F2 = 12 NF1 = 8 Ny
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1273. Titik BeratSetiap benda terdiri atas titik-titik materi atau partikelyang masing-masing memiliki berat. Resultan dari seluruhberat partikel disebut gaya berat benda. Titik tangkap gayaberat merupakan titik berat benda.Menentukan Titik Berat BendaUntuk benda-benda homogen yang memiliki bentukteratur, sehingga memiliki garis atau bidang simetris, makatitik berat benda terletak pada garis atau bidang simetritersebut. Sementara itu, untuk benda-benda yang tidakteratur, titik beratnya dapat ditentukan dengan cara berikutini.Pada Gambar 6.13(a), benda digantung dengan tali dititik A dengan l1sebagai perpanjangannya. Kemudian bendadigantung pada bagian lain titik B dengan l1dan l2berpotongan di suatu titik. Itulah yang merupakan titikberat benda (z).Gambar 6.13Menentukan titikberat bidang yang tidak teratur.(b)z(a)Gambar 6.12Titik berat benda pada benda homogen yang bentuknya teratur.zzzzzAABSecara kuantitatif letak titik berat benda dapat ditentukanmelalui perhitungan sebagai berikut ini.Misalnya, sebuah benda tegar dengan bentuk tidak teraturberada pada bidang xy seperti Gambar 6.14.Jika berat masing-masing partikel penyusun bendaadalah w1, w2, w3 ... wndengan koordinat (x1, y1), (x2, y2),(x3, y3), ... (xn, yn), dan koordinat titik berat benda (x0, y0),maka momen gaya berat benda terhadap sumbu y adalah:x0.w=w1.x1 + w2.x2+ w3.x3 + ... + wn.xnx0=wxwxwxwxwnn332211.......x0=n321nn332211..........wwwwxwxwxwxwJika percepatan gravitasi yang dialami oleh setiappartikel dianggap sama, maka:x0=gmgmgmgmxgmxgmxgmxgm.......).(...).().().(n321nn332211Gambar 6.14Gaya beratpartikel.y1y2y0y3x1x2x0x3w1w2ww3l2l1
128Fisika XI untuk SMA/MAx0=n321nn332211..........mmmmxmxmxmxmx0=¦¦nnn.mxm...................................................... (6.21)Dengan cara yang sama koordinat titik berat bendapada sumbu ydapat dinyatakan:y0=n321nn332211..........mmmmymymymymy0=¦¦nnn.mym...................................................... (6.22)Untuk benda-benda homogen, berat atau massabenda dapat dinyatakan dalam volume, luas, danpanjangnya.a)Benda homogen berbentuk ruangx0= ¦¦nnn.mxm, karena m = U.VMaka:x0=UU¦¦nnn...VxVx0=n321nn332211..........VVVVxVxVxVxVy0=¦¦nnn.VyVy0=n321nn332211..........VVVVyVyVyVyVTitik berat benda sebenarnyatidak sama dengan pusatmassa karena nilai gtergantung letak benda dalammedan gravitasi. Akan tetapi,karena benda kecil, makakoordinat titik pusat massasama dengan koordinat titikberat benda.Tabel 6.3 Titik berat benda homogen berupa selimut ruang○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○GambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratselimut setengah boladengan jari-jari Ry0 = 21RR = jari-jariselimut limas dengantinggi ty0 = 31tt = tinggi limas3.selimut kerucutdengan tinggi ty0 = 31tt = tinggi kerucuty0ztMzMy0R2.zty0M
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar129Tabel 6.4 Titik berat benda pejal homogen berbentuk ruangGambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratsetengah bola denganjari-jari Ry0 = 83RR = jari-jarilimas dengan tinggi ty0 = 41tt = tinggi limas3.kerucut dengantinggi ty0 = 41tt = tinggi kerucutyozt4.silinder pejal dengantinggi tY0 = 21tt = tinggi silindertyozty04.kulit silinder tanpatutup dengan tinggi ty0 = 21tt = tinggi silinderzM○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○zMyoR2.ztyoMMMb) Benda homogen berbentuk bidangKarena besarnya volume: V = A.t, maka:x0=¦¦nnn.AxAx0=112233nn123n..........Ax A x A xA xAA AAy0=¦¦nnn.AyAy0=n321nn332211..........AAAAyAyAyAyA
130Fisika XI untuk SMA/MATabel 6.6 Titik berat benda homogen berbentuk garis○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○GambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratgaris lurusy0 = 21ABz di tengah-tengah AB2.busur lingkarany0 = RABABAB= tali busurAB AB = busur AB R = jari-jari3.busur setengahlingkarany0 = SR2 R = jari-jarizMy0ABrABzy0y0zMc)Benda homogen berbentuk garisx0=¦¦llnnn.xx0= n321nn332211..........llllllllxxxxy0= ¦¦nnn.llyy0= n321nn332211..........llllllllyyyyTabel 6.5 Titik berat benda homogen berbentuk bidang○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○GambarNamaKeterangan1.No.Letak Titik Beratjuring lingkarandengan jari-jari Ry0 = R32.ABABAB = tali busurAB AB = busur ABR = jari-jari2.setengah lingkarandengan jari-jari Ry0 = S34R R = jari-jari3.segitiga dengantinggi ty0 = 21tt = tinggi segitigaCAByoztzMyozyozMyoABR
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar131Contoh Soal1.Suatu bidang datar homogen bentuk dan ukuran-nya seperti pada gambar. Tentukan koordinat titikberat bidang tersebut!Penyelesaian:Bidang dibagi menjadi 2 bagian berbentuk empatpersegi panjang I dan II dengan titik berat z1dan z2.Titik berat benda di titik perpotongan diagonal-diagonalnya.z1= (x1, y1) = (1, 5)z2= (x2, y2) = (4, 1)A1= 2u 10 = 20A2= 4 u2 = 8x0= ¦¦nnn.AxA=212211..AAxAxA=820(8)(4) (20)(1)=2852=76126210yx26x210yIIIz1z22.Gambar di samping menunjukkan sebuah silinderberjari-jari Rdan tinggi 2R. Bagian atas dilubangiberbentuk setengah bola. Tentukan koordinat titikberat silinder tersebut!Penyelesaian:Benda I (silinder)V1=2SR3y1=RBenda II (setengah bola)V1=-32SR 3y2=2R – y=2R – 83R=813RyR2RRRy0=¦¦nnn.AyA=212211..AAyAyA= (20)(5) + (8)(1)20+8=367Jadi, titik berat bidang adalah z (761, 637).
132Fisika XI untuk SMA/MAy0=212211..VVyVyVy0=)32-(2)813)(32-().2(3333RRRRRRSSSS = 334432224262RRRRSSSS = 1611RKoordinat titik berat silinder berlubang adalah (0, 1611R)Tujuan:Menentukan titik berat benda tidak teratur.Alat dan bahan : Karton, gunting, benang, paku, styrofoam, kertas.Cara Kerja:1. Potonglah karton dengan bentuk tidak teratur.2. Buatlah beberapa lubang pada pinggir potongan karton, dan berilah nama,misalnya A, B, C, dan seterusnya.3. Gantungkan potongan karton pada papan styrofoam dengan memasukkanpaku pada lubang A.4. Gantungkan benang yang telah diberi paku (beban), pada paku lubang A.5. Jika benang sudah setimbang (tenang, diam, tidak bergerak), buatlah garisyang berimpit dengan benang tersebut.6. Ulangi langkah 3 - 5 untuk lubang B, C, D, dan seterusnya.7.Dari garis-garis yang kalian buat akan ditemukan satu titik yang merupakanperpotongan dari garis-garis tersebut. Berilah nama titik z (titik berat).Diskusi:1. Apakah yang dimaksud titik berat?2. Bagaimanakah jumlah momen gaya terhadap titik z dan resultan gayanyaketika benda dalam keadaan setimbang?3. Setelah ketemu titik beratnya, letakkan potongan karton pada kertas dantentukan koordinat titik z tersebut!KegiatanpakupakupapanstyrofoambenangBAEDC
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1331.Suatu pelat homogen mula-mulaberukuran 10 u 10, kemudian bagianbawah dipotong setengah lingkaran yangberpusat di M. Tentukan koordinat titikberatnya!2.Gambar di samping menunjukkansebuah silinder dengan jari-jari Rdantinggi 2R. Bagian atas dilubangi ber-bentuk kerucut dan bagian bawahditambah berbentuk setengah bola. JikaR =10 cm, tentukanlah koordinat titikberat silinder tersebut!Uji Kemampuan 6.7○○○○○○○○○○○○○○RRxR0Ry1050510xyM4. Jenis-Jenis KesetimbanganTelah diketahui sebelumnya bahwa benda dapatmengalami kesetimbangan dinamis dan kesetimbanganstatis. Kesetimbangan dinamis dikelompokkan menjadidua, yaitu kesetimbangan translasi dan kesetimbanganrotasi. Kesetimbangan translasi terjadi apabila bendabergerak dengan percepatan linier nol (a = 0), sedangkankesetimbangan rotasi terjadi apabila benda bergerak dengankecepatan sudut tetap atau percepatan sudut nol (D= 0).Kesetimbangan statis benda dibedakan menjadi tigajenis, yaitu kesetimbangan stabil, kesetimbangan labil, dankesetimbangan netral.a.Kesetimbangan stabil atau mantap adalah kesetimbanganyang terjadi pada benda yang apabila dipengaruhigaya akan kembali ke posisi semula, begitu gayadihilangkan. Gambar 6.15 menunjukkan sebuah bolayang tergantung bebas pada sebuah tali. Jika boladigerakkan atau diberi gaya kemudian dihilangkan,maka bola akan segera kembali ke posisi semula.Kesetimbangan stabil ditandai dengan naiknyakedudukan titik berat benda jika dipengaruhi gaya.Gambar 6.15Kesetimbanganstabil suatu benda.
134Fisika XI untuk SMA/MAFisikawan Kita ̄Momen gaya atau torsi didefinisikan sebagai hasil kali gaya dengan jarak titik kegaris kerja gaya.W = F. d = ru F = F.r sinD ̄Momen inersia sebuah partikel yang berotasi terhadap sumbu tertentu denganjari-jari r adalah I = m.r 2.Leon Foulcoult (1819 - 1868)Foulcoult menggunakan pendulum untuk mem-perlihatkan putaran Bumi. Pada tahun 1851 iamenggantungkan bola besi yang sangat besar dengantali baja pada tengah-tengah kubah di Paris. Ketikapertama kali dilepaskan, pendulum berayun melalui garisyang diberi tanda di lantai. Namun selang beberapa jamkemudian, pendulum itu ternyata telah berubah arah.Yang sebenarnya adalah pendulum Foulcoult itu tetapberayun dengan arah yang sama; Bumi di pendulumitulah yang telah berputar.b.Kesetimbangan labil adalah kesetimbangan yangterjadi pada benda yang apabila dipengaruhi gayatidak kembali ke posisi semula. Gambar 6.16menunjukkan sebuah bola yang tergantung di atastongkat. Jika bola digerakkan atau diberi gayakemudian dihilangkan, maka bola tidak akan kembalike posisi semula. Kesetimbangan labil ditandaidengan turunnya kedudukan titik berat benda jikadipengaruhi gaya.c.Kesetimbangan netral atau indeferen adalahkesetimbangan yang terjadi pada benda yang apabiladipengaruhi gaya akan mengalami perubahan posisi,tetapi tidak mengalami perubahan titik berat.Gambar 6.17 menunjukkan sebuah bola yang beradapada lantai mendatar. Jika bola diberi gaya kemudiandihilangkan, maka bola akan bergerak dan diampada posisi yang berbeda. Kesetimbangan netralditandai dengan tidak adanya perubahan (naik atauturunnya) kedudukan titik berat benda.Gambar 6.17Kesetimbangannetral benda.Gambar 6.16Kesetimbanganlabil suatu benda.FFFFFiestaiestaiestaiestaiesta
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar135Untuk benda tegar yang massanya terdistribusi kontinu, momen inersia dihitungdengan metode integral:I= dmr2³ ̄Momen gaya adalah penyebab gerak rotasi. Hubungan antara momen gaya denganpercepatan sudut adalah:W= I.D ̄Energi kinetik rotasi adalah energi yang dimiliki oleh benda yang melakukangerak rotasi.EkR= 21I.Z2Untuk benda yang mengalami gerak rotasi dan translasi (menggelinding), besarnyaenergi kinetik benda adalah:Ek= EkR + EkTEk= 21I.Z2+ 21m.v 2 ̄Usaha yang dilakukan oleh benda yang berotasi adalah:W=W . TUsaha juga merupakan perubahan energi kinetik rotasi:W= 21I.Z22 – 21I.Z12 ̄Momentum sudut sistem partikel dengan kecepatan sudut Z adalah:L= I . ZJika benda berotasi bergerak dengan kecepatan linier v, maka momentum sudutnya:L= m.r.v ̄Hukum Kekekalan Momentum SudutJika tidak ada momen gaya yang bekerja (¦W= 0) maka momentum sudut suatubenda (sistem) yang berotasi adalah tetap.L= konstanL1= L2oI1.Z1 = I2.Z2 ̄Suatu benda tegar berada dalam kesetimbangan apabila memenuhi syarat berikut ini.¦xF = 0, ¦yF = 0, dan ¦W = 0 ̄Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar, dan arahnyaberlawanan. Besarnya momen kopel dirumuskan: M = F. d. ̄Titik tangkap gaya resultan beberapa gaya sejajar yang berada pada bidang xydapat ditentukan dengan persamaan:xR=¦¦ynny.RxFyR=¦¦xnnx.RyF
136Fisika XI untuk SMA/MA ̄Koordinat titik berat benda yang bentuknya tidak teratur dapat ditentukan sebagaiberikut:x0=¦¦nnn.wxwy0=¦¦nnn.wywJika percepatan gravitasi dianggap sama, maka:x0=¦¦nnn.mxmy0=¦¦nnn.mym ̄Kesetimbangan statis benda dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu kesetimbanganstabil, kesetimbangan labil, dan kesetimbangan netral atau indeferen.A. Pilihlah jawaban yang paling tepat!1.Sebuah bujur sangkar ABCDdenganpanjang rusuk 202 cm bekerja gayaF seperti pada gambar. Besarnyamomen gaya F pada titik A adalah ... .a.2 Nmb.22 Nmc.4 Nmd.202 Nme.200 Nm2. Apabila dimensi massa, panjang, dan waktu berturut-turut adalah M, L, danT, maka dimensi dari momen gaya adalah ... .a.ML-2T-2b.ML-1T-2c.MLT-2d.MT2T-2e.ML2T2DABCF = 10 NUji Kompetensi202
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar1373. Sebuah batang homogen panjang 80 cm dan massanya 1,5 kg. Batang diputardengan poros terletak pada jarak 20 cm dari salah satu ujungnya. Besarmomentum inersia batang itu adalah ... .a.0,15 kgm2b. 0,42 kgm2c.4,8 kgm2d.7,2 kgm2e.10,5 kgm24. Sebuah silinder pejal yang massanya 10 kg dan jari-jari 20 cm menggelindingdengan kecepatan 8 m/s. Energi kinetik silinder itu adalah ... .a.320 Jb. 480 Jc.1.380 Jd. 1.600 Je.1.920 J5.Suatu sistem dirangkai seperti gambardi samping. Jika sistem dalam keadaansetimbang, maka besarnya gaya Fadalah ... .a.50 Nd.120 Nb. 80 Ne.180 Nc.100 N6.Resultan gaya yang sejajar sepertiterlihat pada gambar, terletak pada ...a.x = -3d.x= 4b.x = 0e.x= 8,7c.x = 17.Koordinat titik berat pada bendahomogen seperti gambar di sampingadalah ... .a.(10, 15)b. (10, 20)c.(15, 20)d.(20, 15)e.(20, 20)60101050BACF200 N4 m8 mF1 = 4 NF2 = -2 NyF3 = 5 NF4 = -10 N-2-123
138Fisika XI untuk SMA/MA8.Koordinat titik berat empat buahkawat yang dirangkai seperti gambardi samping adalah ... .a.(4103, 4)b. (421, 4103)c.(6103, 621)d.(621, 6103)e.(6, 4)9.Sebuah batang homogen yangmassanya 13 kg (g = 10 m/s2) danpanjang 13 m disandarkan padasebuah tembok tingginya 5 meter daritanah. Jika tembok licin, lantai kasar,dan batang dalam kesetimbangan,maka koefisien gesekan antara lantaidengan ujung batang adalah ... .a.1,45d.0,75b. 1,2e.0,4c.0,910.Pada sistem kesetimbangan bendaseperti pada gambar di samping,panjang AB = 80 cm, AC = 60 cm,dan berat 18 N. Jika ujung batangdigantungkan beban 30 N, makategangan pada tali adalah ...a.36 Nd. 65 Nb. 48 Ne. 80 Nc.50 N13 mf.g5 mCAB2 cm4 cm4 cm2 cm2 cm3 cmyx3 cm
Bab 6 Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar139B. Jawablah dengan singkat dan benar!1.Sebuah mobil melewati jembatandengan panjang 8 m seperti ditunjukkangambar di samping. Jika gaya roda depan400 N dan gaya roda belakang 500 N,berapakah gaya dorong ke atas padakedua ujung jembatan?2.Sebuah silinder pejal bermassa 500 g(g = 10 m/s2) dan berjari-jari 10 cmmenggelinding menaiki bidang miringseperti pada gambar. Jika kecepatanawal silinder 15 m/s, berapakahketinggian h yang dicapai?3.Berdasarkan gambar di samping,tentukan koordinat titik berat!4.Jika panjang batang AB 0,5 m,beratnya 50 N, dan berat beban 200 N,hitunglah tegangan tali agar sistemsetimbang!5.Suatu batang AC massanya 40 kg danpanjangnya 3 m ditumpu pada titikA dan B seperti pada gambar. Seoranganak bermassa 25 kg berjalan dari Amenuju C. Jika jarak AB = 2 m danpercepatan gravitasi 10 m/s2, berapakahjarak minimum anak tersebut dari titikC agar papan tetap setimbang?20 cm40 cm40 cm60o30oATBABC3 m 3 m2 mAB30oh